MATERI KULIAH
1.
Pendahuluan
2.
Distribusi
Sampling (Sampling Distribution)
3.
Pendugaan
Parameter (Parameter Estimation)
4.
Pengujian
Hipotesis Statistis (Statistical
Hypothesis Testing)
5.
Uji
Chi Kuadrat (Chi-Square Test)
6.
Analisis
Varians (Analysis of Variance)
7.
Analisis
Regresi & korelasi linier
8.
Analisis
Statistika Non Parametrik
DISTRIBUSI SAMPLING STATISTIK
·
Sampling : Penentuan (pemilihan) anggota sampel (unit
analisis) dari populasinya dengan cara-cara tertentu. Selanjutnya terhadap unit analisis yang terpilih
dilakukan pengamatan mengenai karakteristik tertentu, melalui proses
kuantifikasi, baik melalui pengukuran maupun penghitungan.
·
Sampel (sample) : Sebagian dari anggota populasi yang diambil
dengan cara-cara tertentu.
·
Populasi (population) : Keseluruhan hasil yang mungkin terjadi dari
suatu proses pengukuran atau penghitungan mengenai karakteristik tertentu.
·
Sampel acak (random sample) : Sebagian dari populasi yang diambil
dengan cara-cara tertentu, dan setiap anggota populasi memiliki peluang
yang sama untuk terambil ke dalam sampel.
·
Sampling
juga diartikan sebagai : pengumpulan data dengan cara memeriksa (mengukur atau
menghitung) karakteristik setiap anggota sampel.
·
Sensus : Pengumpulan data dengan cara memeriksa
karakteristik seluruh anggota populasi.
·
Kelebihan
Sampling di banding Sensus :
(1)
Biaya relatif lebih kecil
(2)
Waktu lebih cepat
(3)
Ketelitian lebih tinggi
·
Sampel
acak diperoleh dengan teknik sampling acak :
(1)
Sampling Acak Sederhana (Simple
Random Sampling)
(2)
Sampling Acak Stratifikasi (Stratified
Random Sampling)
(3)
Sampling Acak Berklaster (Clustered
Random Sampling)
(4)
Sampling Acak Sistematis (Systematic
Random Sampling)
·
Sampel
non acak (non random sample)
diperoleh dengan cara :
(1)
Accidental Sampling
(2)
Quota Sampling
(3)
Purposive sampling
(4)
Snow ball sampling
§ Distribusi Sampling
akan meliputi
:
(1)
Distribusi sampling rata-rata
(2)
Distribusi sampling beda dua rata-rata
(3)
Distribusi sampling proporsi
(4)
Distribusi sampling beda dua proporsi
DISTRIBUSI SAMPLING
RATA-RATA
·
Bila
dari populasi variabel acak X yang kontinu dan berdistribusi normal dengan
rata-rata m dan varians s2, atau dituliskan
sebagai X ~ N(m,s2) diambil sampel acak
berukuran n, maka rata-rata (x) akan berdistribusi Normal dengan rata-rata mx = m
dan varians s2/n atau dituliskan sebagai X ~ N(mx,s2/n).
·
Untuk
memudahkan penghitungan probabilitas suatu sampel acak berukuran n akan mempunyai
ukuran rata-rata tertentu, maka distribusi rata-rata di atas diubah menjadi
angka baku Z sebagai berikut :
·
Angka
baku Z berdistribusi Normal dengan rata-rata m = 1 dan varians s2 = 0 yang ditulis
sebagai Z ~ N(1, 0).
·
Perumusan
angka baku Z di atas digunakan jika populasi tidak terbatas (infinite population), pengambilan sampel
dengan pengembalian (sampling with
replacement), dan n £ 5%N.
·
Sedangkan
untuk populasi terhingga (finite
population), pengambilan sampel tanpa pengembalian (sampling without replacement), dan n > 5%N, maka perumusan angka
baku Z adalah :
;
dimana
SOAL-SOAL
DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA
1.
Misalkan
sebuah populasi berukuran 80, variabel acak X dalam populasi tersebut
berdistribusi Normal dengan rata-rata 69,7 dan varians 35. Kemudian dengan sampling tanpa pengembalian,
diambil sampel acak berukuran 5.
Tentukanlah probabilitas bahwa dalam sampel tersebut rata-ratanya :
a.
Paling
sedikit 65
b.
Antara
68 dan 71
c.
Lebih
dari 71
2.
Berat
kantong-kantong semen yang diisikan secara otomatis mengikuti distribusi Normal
dengan rata-rata 50 Kg dan varians 10,24 Kg.
Bila diambil sampel acak berukuran 25 kantong semen, maka tentukanlah
peluang bahwa rata-rata berat kantong semen tersebut :
a.
Paling
sedikit 48,5 Kg
b.
Antara
48,5 sampai dengan 49 Kg
3.
Suatu
populasi berukuran 100, variabel acak Y dalam populasi tersebut berdistribusi
Normal dengan rata-rata 50 dan varians 16.
Kemudian dari populasi tersebut diambil sampel acak berukuran 30,
tentukanlah probabilitas bahwa rata-rata sampel adalah :
a.
Paling
besar 51
b.
Antara
49 dan 51
c.
Paling
sedikit 48,5
4.
Suatu
perusahaan mempekerjakan 800 pegawai yang terdiri dari 75% pegawai pria dan
sisanya pegawai wanita. Berdasarkan
catatan bagian personalia, rata-rata waktu terlambat masuk kerja adalah 32
menit dan simpangan baku 9,6 menit.
Suatu ketika pimpinan perusahaan melakukan sidak, dengan mengambil
secara acak sampel berukuran 100 pegawai.
Tentukanlah ada berapa pegawai yang terlambat masuk :
(a) Paling sedikit 30
menit
(b) Kurang dari 33 menit
(c) Antara 30 hingga 33
menit
SOAL-SOAL DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI
1.
Ada
petunjukkan kuat bahwa 10% anggota masyarakat berpendidikan SD. Sebuah sampel acak terdiri dari 100 orang
telah diambil. Tentukan probabitas bahwa
dalam sampel tersebut terdapat :
(a) Kurang dari 11 orang
yang berpendidikan SD
(b) Paling sedikit 14
orang yang berpendidikan SD
(c) Antara 12 dan 14
orang yang berpendidikan SD
2.
Telah
diambil 1000 sampel anak-anak masing-masing berukuran 200 anak. Dalam berapa buah sampel diharapkan dapat
ditemukan :
(a) Anak laki-laki kurang
dari 42%
(b) Anak perempuan antara
43% dan 55%
(c) Anak laki-laki lebih
dari 56%
3. Seorang pramuniaga
yang telah berpengalaman bertahun-tahun dalam menjual suatu alat pembersih
udara berpendapat bahwa probabilitas berhasil menjual satu set alat tersebut
setelah memberikan presentasi kepada para pelanggan adalah 0,8. Jika suatu ketika ia mempresentasikan kepada
100 pelanggan, maka berapakan probabilitas bahwa :
(a) Paling sedikit 75
pelanggan akan membeli
(b) kurang dari 15 orang
yang tidak akan membeli
4. Dari 1000 mahasiswa
FE yang menempuh ujian statistik diperoleh rata-rata 58,2 dan standar deviasi
20,7. Sesuai dengan kriteria kelulusan,
ternyata dari 1000 mahasiswa peserta ujian tersebut berhasil lulus sebanyak 650
orang. Jika diambil satu kelas secara
acak yang terdiri dari 60 mahasiswa, maka berapakah probabilitas dari kelas
tersebut akan terdapat :
(a) Paling sedikit 30
mahasiswa berhasil lulus ujian
(b) Kurang dari 27
mahasiswa yang tidak lulus ujian
(c) Antara 30 dan 36
mahasiswa berhasil lulus ujian
SOAL-SOAL DISTRIBUSI SAMPLING BEDA DUA
RATA-RATA
1. Rata-rata tinggi
badan mahasiswa 167 cm dan simpangan baku 5,2 cm. Sedangkan rata-rata tinggi badan mahasiswi
156 cm dan simpangan baku 4,9 cm. Jika
dari dua kelompok mahasiswa tersebut masing-masing diambil sampel acak
berukuran sama yaitu 140 orang, maka
berapa peluang rata-rata tinggi badan mahasiswa paling sedikit 10 cm lebihnya
dari rata-rata tinggi badan mahasiswi.
2. Sebuah perusahaan
kabel menghasilkan dua jenis kabel, yaitu kabel A dan kabel B. Kabel A mempunyai rata-rata kekuatan tarik
4000 kg dan simpangan 300 kg. Sedangkan
kabel B mempunyai rata-rata kekuatan tarik 4500 kg dan simpangan baku 200
kg. Jika diambil sampel acak
masing-masing berukuran 100 potong kabel
A dan 50 potong kabel B, maka tentukan pro-babilitas bahwa kabel B memiliki
rata-rata kekuatan tarik :
(a) Paling sedikit 600 kg
lebih kuat daripada kabel A
(b) Kurang dari 450 kg
lebih kuat daripada kabel A
SOAL-SOAL DISTRIBUSI SAMPLING BEDA DUA
PROPORSI
1.
Ada
petunjuk kuat bahwa Mr. A akan mendapat suara 60% dalam pemilihan Gubernur
Propinsi X periode tahun 2001-2003.
Secara independen diambil dua buah sampel acak yang masing-masing
berukuran 300 orang. Tentukanlah
probabilitas bahwa akan terdapat perbedaan persentase suara tidak lebih dari
10% dari kedua sampel tersebut akan memilih Mr. A.
2.
Dari
hasil penelitian mengenai preferensi konsumen terhadap merk rokok G menunjukkan bahwa disukai 15%
konsumen rokok di perkotaan dan disukai 12% konsumen rokok di pedesaan. Jika test pasar dilakukan lagi dengan
mengambil dua sampel acak secara independen masing-masing berukuran 100 orang,
maka tentukanlah probabilitas bahwa konsumen rokok di perkotaan paling sedikit
10 orang lebih banyak daripada konsumen rokok di pedesaan yang menyukai rokok
merk G tersebut.
3.
Dua
sejoli A dan B yang suka judi melakukan taruhan dengan cara mengundi sekeping
uang ratusan bergambar burung garuda (G) di satu sisi dan bergambar Karapan
sapi (S) di sisi lainnya. Si A dan si B
masing-masing diberi kesempatan melempar sebayak 25 kali. Salah seorang akan dinyatakan menang taruhan
jika memperoleh paling sedikit 5 sisi G lebih banyak dibanding lawannya. Berapakah peluang si A akan memenangkan
taruhan tersebut.
SOAL-SOAL ESTIMASI RATA-RATA
1. Telah diambil secara
acak sampel yang terdiri dari 100 orang mahasiswa sebuah universitas di
Jakarta. Melalui test IQ terhadap 100
mahasiswa tersebut diperoleh rata-rata IQ sebesar 112 dan varians 100. Dengan menggunakan tingkat keyakinan (confidence level) sebesar 95%, tentukan
interval keyakinan untuk nilai rata-rata IQ seluruh mahasiswa universitas
tersebut.
2. Seorang petani tomat
ingin mengetahui rata-rata berat buah tomat hasil kebunnya. Untuk itu, diambil sampel secara acak 10 buah
tomat dengan berat masing-masing (dalam gram) : 142, 157, 138, 175, 152, 149,
148, 200, 182, dan 164. Jika petani
tersebut merasa yakin 95% bahwa rata-rata berat buah tomat akan tercakup dalam
interval estimasi, maka tentukanlah interval estimasi rata-rata berat tomat
hasil kebun petani tersebut.
3. Sebuah populasi yang
berdistribusi Normal terdiri dari 1000 data mempunyai simpangan baku 5,75. Kemudian diambil sampel acak berukuran 80
data dengan rata-rata 68,6. Tentukan inter-val
keyakinan 95% untuk rata-rata populasi tersebut.
4. Untuk menjaga
cash-flow yang aman, sebuah perusahaan pemasok bahan bangunan ingin
mengestimasi rata-rata saldo kredit dari para krediturnya. Untuk itu, diambil sampel acak yang terdiri
dari 25 kreditur, dan diperoleh rata-rata saldo kredit sebesar US$ 3200 dengan
standar deviasi US$ 350. Tentukan
interval estimasi rata-rata saldo kredit para piutang perusahaan tersebut,
sehingga pimpinan perusahaan akan merasa yakin sebesar 90% terhadap kebenaran
estimasi tersebut.
5. Untuk meningkatkan
mutu pelayanan, manajemen Cafe
MaFia melakukan penelitian terhadap para pelanggannya selama tiga bulan. Dari hasil observasi secara acak terhadap 100
pelanggan diperoleh data sebagai berikut :
¨
Rata-rata
waktu santap para pelanggan adalah 45 menit dengan standar deviasi 10 menit.
¨
Rata-rata
pembelian para pelanggan Rp 125.000,- dengan standar deviasi Rp 25.000,-
Jika manajemen Cafe tersebut merasa yakin
sebesar 95% bahwa hasil penelitiannya akan tercakup dalam interval estimasi
(interval konfidens), maka tentukan interval konfidens untuk :
(a) Rata-rata waktu
santap para pelanggannya
(b) Rata-rata pembelian
para pelanggannya
SOAL-SOAL
ESTIMASI PROPORSI
1. Dari hasil survey
yang dilakukan suatu research agency
mengenai kebiasaan ibu rumah tangga menyaksikan tayangan iklan di TV Swasta. Ternyata diperoleh hasil bahwa 76 orang dari
180 orang ibu rumah tangga yang dipilih secara acak, biasa menyak-sikan
tayangan iklan paling sedikit 2 jam per minggu.
Jika peneliti tersebut menggunakan taraf konfidens sebesar 90%, maka
tentukan interval estimasi seluruh ibu rumah tangga yang biasa menyaksikan
tayangan iklan paling sedikit 2 jam per minggu.
2. Sebuah sampel acak
yang terdiri dari 100 buruh tani, ternyata sebanyak 64 buruh tani tersebut juga
sebagai pemilik tanah. Tentukanlah
interval keyakinan sebesar 95% untuk mengestimasi proporsi buruh tani yang juga
sebagai pemilik tanah.
3. Dari hasil
pemeriksaan mutu terhadap sebuah sampel acak ban mobil yang diproduksi PT. BB,
ternyata sebanyak 20% tidak memenuhi standar mutu. Tentukanlah interval konfidens sebesar 90%
untuk proporsi ban yang tidak memenuhi standar mutu, jika digunakan ukuran
sampel :
(a) n = 10
(b) n = 25
(c) n = 100
4. Seperempat dari 300
konsumen yang diwawancarai secara acak menyatakan tidak suka sabun mandi merk
"X". Jika digunakan taraf konfidens
99%, tentukanlah interval estimasi seluruh kon-sumen yang tidak menyukai sabun
merk "X" tersebut.
SOAL-SOAL
ESTIMASI BEDA DUA RATA-RATA
1. Sampel acak yang
terdiri dari 100 orang buruh perusahaan A telah diperiksa ternyata rata-rata
waktu menyelesaikan pekerjaannya per unit barang adalah 12 menit dengan standar
deviasi 2 menit. Sedangkan dari
perusahaan B yang sejenis diambil sampel acak berukuran 50, setelah diperiksa
ternyata rata-rata menyelesaikan pekerjaan yang sama adalah 11 menit dengan
standar deviasi 3 menit. Tentukanlah
interval keyakinan sebesar 99% untuk mengestimasi beda rata-rata waktu
penyelesaian pekerjaan semua buruh di perusahaan A dan perusahaan B.
2. Berdasarkan hasil
survey sampel mengenai rata-rata pendapatan keluarga per tahun di dua desa yang
berbeda, yaitu Desa A dan Desa B. Dari
Desa A diambil secara acak sampel berukuran 100 dan diperoleh rata-rata
pendapatan Rp 5,9 juta dengan varians Rp 0,81 juta. Sedangkan dari Desa B diambil secara acak
sampel berukuran 120 dan diperoleh rata-rata pendapatan Rp 5,8 juta dengan
varians Rp 0,64 juta. Jika digunakan
taraf konfidens 95%, tentukan interval estimasi perbedaan rata-rata pendapatan
keluarga per tahun di kedua desa tersebut.
SOAL-SOAL
ESTIMASI BEDA DUA PROPORSI
1. Dua sampel acak
masing-masing terdiri 700 mahasiswa dan 500 mahasiswi yang mengunjungi suatu
bazar buku murah. Ternyata setelah kedua
sampel tersebut diperiksa, terdapat 400 mahasiswa dan 325 mahasiswi yang merasa puas dengan
adanya bazar tersebut. Tentukan interval
konfidens sebesar 98% untuk mengestimasi perbedaan proporsi mahasiswa dan
mahasiswi yang merasa puas terhadap bazar buku murah tersebut.
2. Untuk mengetahui
perbedaan proporsi ketaatan pemilik mobil melunasi PKB d Kota A dan Kota B,
diambil secara acak sampel di Kota A
sebanyak 100 mobil dan ternyata 72 mobil telah melunasi PKB. Sedangkan di Kota B dari sampel acak sebanyak
100 mobil, ternyata 66 mobil yang sudah melunasi pajaknya. Tentukanlah interval konfidens sebesar 90%
untuk mengestimasi beda proporsi pemilik mobil yang taat melunasi pajak di
kedua kota tersebut.
MENENTUKAN
n DARI ESTIMASI PARAMETER
1. Depkes dan Depdiknas
bekerjasama untuk mengadakan penelitian mengenai persentase murid SD yang sakit
gigi. Supaya dengan taraf konfidens 95%
diperoleh perbedaan antara persentase sebenarnya dengan persentase dugaan tidak
lebih dari 4%, maka harus berapa murid SD yang dijadikan sampel.
2. Mr. X akan dinyatakan
menang dalam pemilihan gubernur, jika ia berhasil mengumpulkan suara paling
sedikit 51%. Dari pemilihan sebelumnya
ia mendapatkan suara 55%. Untuk
menjajagi pencalonan Mr. X agar terpilih lagi menjadi gubernur yang ketujuh
kalinya, maka diambil sampel acak berukuran n pemilih. Agar Mr. X merasa yakin 95% akan terpilih
lagi menjadi gubernur untuk ketujuh kalinya, maka berapakah n tersebut.
3. Berapakah ukuran
sampel yang diperlukan untuk mengestimasi rata-rata pengeluaran konsumsi per
bulan penduduk Desa Z, jika dengan taraf konfidens 95% diinginkan kekeliruan
estimasi tidak lebih dari Rp 25.000. Berdasarkan hasil survey tahun sebelumnya
ditunjukkan bahwa rata-rata pengeluaran konsumsi per bulan penduduk Desa Z
tersebut adalah Rp 700.000 dengan standar deviasi Rp 200.000.
4. Dua buah populasi
berdistribusi Normal dengan simpangan baku sama besar yaitu 8,4. Selanjutnya dari masing-masing populasi
diambil secara acak sampel yang berukuran sama yang digunakan untuk
mengestimasi beda rata-rata populasi.
Jika taraf konfidens 95% dan kekeliruan estimasi tidak lebih dari 2,5,
maka tentukanlah masing-masing ukuran kedua sampel tersebut.
PENGUJIAN
HIPOTESA RATA-RATA
1.
Kualitas
lampu pijar dinyatakan memenuhi kualitas jika memiliki rata-rata masa pakai
lebih dari 1600 jam. Untuk melindungi
kepentingan konsumen, YLKI melakukan penelitian terhadap lampu merk
"X" dengan mengambil sampel acak berukuran 20 lampu, ternyata
rata-rata masa pakainya 1565 jam dan standar deviasi 118 jam. Jika digunakan taraf signifikans 10%, maka
bagaimanakah pendapat YLKI terhadap mutu lampu pijar merk "X"
tersebut.
2.
Seorang
karyawan dinyatakan terampil jika berhasil menyelesaikan pekerjaan per unit
barang kurang dari 50 menit. Seorang
karyawan yang baru ditatar berhasil menyelesaikan 100 unit barang dalam waktu
5169 menit, dan simpangan baku waktu penyelesaian 9,5 menit. Jika digunakakan taraf signifikans 1%, maka
bagaimanakah keterampilan karyawan tersebut.
BAB II
STATISTIK DESKRIPTIF
A.
Pengertian Statistik Deskriptif
Adalah
statistik yang berfungsi untuk mendeskripsikan atau memberi gambaran terhadap
obyek yang diteliti melalui data sampel atau populasi sebagaimana adanya, tanpa
melakukan analisis dan membuat kesimpulan yang berlaku
untuk umum.
B.
Penyajian Data
Prinsip
dasar penyajian data adalah komunikatif dan lengkap. Menarik perhatian
pembacanya dan mudah dipahami.
1)
Tabel
Tabel
terdiri dari dua macam : a. Tabel biasa dan b. Tabel distribusi frekuensi
Contoh Tabel
Data Nominal:
Telah
dilakukan pengumpulan data untk mengetahui komposisi pendidikan pegawai di
Politeknik LP3I Jakarta Kampus Blok M. Berdasarkan studi dokumentasi diperoleh
keadaan sebagai berikut:
a)
Bagian Pamasaran, S1=2 orang; D3=5 orang; SMTA=4 orang
b)
Bagian Akademik, S1=4 orang; D3=2 orang; SMTA=1
orang
c)
Bagian Keuangan, S1=1 orang; D3=1 orang; SMTA=3
orang
d)
Bagian Penempatan, S1= 1 orang; D3=0 orang; SMTA=1 orang
Dari data
mentah di atas dapat disusun ke dalam table dibawah ini:
TABEL 2.1
KOMPOSISI
PENDIDIKAN PEGAWAI
POLITEKNIK
LP3I JAKARTA KAMPUS BLOK M
No
|
Bagian
|
Tingkat
Pendidikan
|
Jumlah
|
||
S1
|
D3
|
SMTA
|
|||
1
|
Pemasaran
|
2
|
3
|
5
|
10
|
2
|
Akademik
|
4
|
2
|
1
|
7
|
3
|
Keuangan
|
1
|
1
|
3
|
5
|
4
|
Penempatan
|
1
|
0
|
1
|
2
|
Jumlah
|
8
|
6
|
10
|
24
|
|
Sumber data:
Bagian Personalia
Contoh Tabel
Data Ordinal
TABEL 2.2
RANGKING
SKOR TOEIC
Periode Juli
2012 sd Juni 2013
No
|
Nama
Karyawan
|
Skor TOEIC
|
Rangking
|
1
|
Nengwida
|
780
|
1
|
2
|
Harti
|
560
|
2
|
3
|
Nunung
|
440
|
3
|
4
|
Puspita
|
420
|
4
|
5
|
Iwan
|
300
|
5
|
Rata-Rata
Skor TOEIC
|
500
|
||
Sumber Data:
Bagian Personalia
Contoh Tabel
Data Interval
Dari hasil
penelitian kepuasan kerja pegawai menggunakan instrument dengan skala Likert
dengan interval 1 sampai dengan 5 dimana skor 1 untuk sangat kurang; 2 untuk
kurang; 3 untuk cukup; 4 untuk baik; dan 5 untuk sangat baik. Hasilnya
disajikan dalam table di bawah ini.
TABEL 2.3
TINGKAT
KEPUASAN KERJA PEGAWAI
No
|
Aspek
Kepuasan Kerja
|
Tingkat
Kepuasan
|
1
|
Gaji
|
37.58
|
2
|
Insentif
|
57.18
|
3
|
Transportasi
|
68.60
|
4
|
Perumahan
|
48.12
|
5
|
Budaya
Kerja
|
54.00
|
Sumber Data:
Bidang Personalia
2)
Tabel Distribusi Frekuensi
Disusun bila
jumlah data yang akan disajikan cukup banyak, sehingga kalau disajikan dalam
bentuk tabel biasa menjadi tidak efisien, kurang komunikatif, dan tidak
menarik. Selain itu tabel ini dibuat untuk persiapan pengujian terhadap
normalisasi data yang menggunakan kertas peluang normal.
Contoh Tabel
Distribusi Frekuensi
TABEL 2.4
DISTRIBUSI
FREKUENSI
NILAI
MATAKULIAH STATISTIKA 150 MAHASISWA
No Kelas
|
Kelas
Interval
|
Frekuensi
|
1
|
10 – 19
|
1
|
2
|
20 – 29
|
6
|
3
|
30 – 39
|
9
|
4
|
40 – 49
|
31
|
5
|
50 – 59
|
42
|
6
|
60 – 69
|
32
|
7
|
70 – 79
|
17
|
8
|
80 – 89
|
10
|
9
|
90 – 99
|
2
|
Jumlah
|
150
|
|
Hal-hal yang
perlu diperhatikan dalam tabel distribusi frekuensi
a)
Tabel di atas memiliki 9 kelas. No 1 sd 9
b)
Pada setiap kelas mempunyai kelas interval. Interval nilai bawah dengan atas
disebut panjang kelas.
c)
Setiap kelas interval mempunyai frekuensi (jumlah).
d)
Tabel distribusi frekuensi tersebut bila mau dibuat menjadi tabel biasa akan
memerlukan 150 baris (n=150) jadi akan sangat panjang.
Pedoman Umum
membuat Tabel Distribusi Frekuensi
Langkah
pertama dalam membuat tabel distribusi frekuensi adalah menentukan kelas
interval. Terdapat 3 pedoman yang dapat diikuti:
a)
Berdasarkan Pengalaman, berdasarkan pengalaman jumlah kelas interval yang
digunakan dalam menyusun tabel distribusi frekuensi berkisar antara 6 sd 15
kelas.
b)
Ditentukan dengan membaca grafik
c)
Ditentukan dengan rumus Sturges
Rumus
Sturges :
|
Dimana :
K
= Jumlah Kelas Interval
n
= Jumlah data observasi
log
= Logaritma
Misal:
Jumlah data 200, maka jumlah kelasnya (K) =
K = 1 + 3,3
log 200 = 1 + 3,3 * 2,30 = 8,59 dapat dibulatkan menjadi 8 atau 9
Contoh Cara
Menyususn Tabel Distribusi Frekuensi
Dibawah ini
nilai mata kuliah statistika dari 150 mahasiswa
27
|
79
|
69
|
40
|
51
|
88
|
55
|
48
|
36
|
61
|
53
|
44
|
93
|
51
|
65
|
42
|
58
|
55
|
69
|
63
|
70
|
48
|
61
|
55
|
60
|
25
|
47
|
78
|
61
|
54
|
57
|
76
|
73
|
62
|
36
|
67
|
40
|
51
|
59
|
68
|
27
|
46
|
62
|
43
|
54
|
83
|
59
|
13
|
72
|
57
|
82
|
45
|
54
|
52
|
71
|
53
|
82
|
69
|
60
|
35
|
41
|
65
|
62
|
75
|
60
|
42
|
55
|
34
|
49
|
45
|
49
|
64
|
40
|
61
|
73
|
44
|
59
|
46
|
71
|
86
|
43
|
69
|
54
|
31
|
36
|
51
|
75
|
44
|
66
|
53
|
80
|
71
|
53
|
56
|
91
|
60
|
41
|
29
|
56
|
57
|
35
|
54
|
43
|
39
|
56
|
27
|
62
|
44
|
85
|
61
|
59
|
89
|
60
|
51
|
71
|
53
|
58
|
26
|
77
|
68
|
62
|
57
|
48
|
69
|
76
|
52
|
49
|
45
|
54
|
41
|
33
|
61
|
80
|
57
|
42
|
45
|
59
|
44
|
68
|
73
|
55
|
70
|
39
|
59
|
69
|
51
|
85
|
46
|
55
|
67
|
a)
Hitung jumlah kelas interval
K = 1 + 3,3
log 150 =1+ 3,3 * 2,18 = 8,19 Boleh 8 atau 9. Kita gunakan 9.
b)
Hitung rentang data, yaitu data terbesar dikurangi data terkecil kemudian
ditambah 1. Data terbesar 93 dan terkecil 13.
Jadi 93 – 13
= 80 + 1 = 81
c)
Hitung panjang kelas
Panjang
Kelas = Rentang : Jumlah Kelas; 81 : 9 = 9. Walau dari hitungan panjang kelas
9, tetapi pada penyusunan tabel ini digunakan panjang kelas 10.
d)
Susun interval kelas
Secara
teoritis penyusunan kelas dimulai dari data terkecil, yaitu 13. Tetapi supaya
komunikatif maka dimulai dengan angka 10
e)
Memasukan data dengan tally
Dengan cara
mencoret data yang telah dimasukkan dimulai dari paling awal (27) yang masuk ke
kelas no 2 (20-29) dan seterusnya data 53 dengan tally di setiap kelas
tersedia. Jumlah tally harus sama dengan jumlah data. Setelah frekuensi
ditemukan lalu tally dihilangkan.
TABEL 2.5
PENYUSUNAN
TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI
DENGAN TALLY
No Kelas
|
Kelas
Interval
|
Tally
|
Frekuensi
(f)
|
1
|
10 – 19
|
I
|
1
|
2
|
20 – 29
|
IIIII I
|
6
|
3
|
30 – 39
|
IIIII IIII
|
9
|
4
|
40 – 49
|
IIIII
IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII I
|
31
|
5
|
50 – 59
|
IIIII
IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII II
|
42
|
6
|
60 – 69
|
IIIII
IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII II
|
32
|
7
|
70 – 79
|
IIIII
IIIII IIIII II
|
17
|
8
|
80 – 89
|
IIIII
IIIII
|
10
|
9
|
90 – 100
|
II
|
2
|
Jumlah
:
|
150
|
||
Tabel
Distribusi Frekuensi Kumulatif
Kumulatif
adalah tabel yang menunjukan jumlah observasi yang menyatakan kurang dari nilai
tertentu.
TABEL 2.6
DISTRIBUSI
FREKUENSI KUMULATIF
NILAI
STATISTIKA 150 MAHASISWA
Kurang
Dari
|
Frekuensi
Kumulatif
|
Kurang
dari 20
|
1
|
Kurang
dari 30
|
7
|
Kurang
dari 40
|
16
|
Kurang
dari 50
|
47
|
Kurang
dari 60
|
89
|
Kurang
dari 70
|
121
|
Kurang
dari 80
|
138
|
Kurang
dari 90
|
148
|
Kurang
dari 101
|
150
|
Tabel
Distribusi Frekuensi Relatif
Penyajian
data lebih mudah dipahami bila dinyatakan dalam persen (%). Penyajian data yang
merubah frekuensi menjadi persen dinamakan distribusi frekuensi relative. Cara
pembuatannya adalah dengan merubah frekuensi menjadi persen.
TABEL 2.7
DISTRIBUSI
FREKUENSI RELATIF
NILAI
STATISTIKA 150 MAHASISWA
No Kelas
|
Kelas
Interval
|
Frekuensi
|
Relatif
(%)
|
1
|
10 – 19
|
1
|
0,67
|
2
|
20 – 29
|
6
|
4,00
|
3
|
30 – 39
|
9
|
6,00
|
4
|
40 – 49
|
31
|
20,67
|
5
|
50 – 59
|
42
|
28,00
|
6
|
60 – 69
|
32
|
21,33
|
7
|
70 – 79
|
17
|
11,33
|
8
|
80 – 89
|
10
|
6,67
|
9
|
90 – 100
|
2
|
1,33
|
Jumlah
:
|
100
|
||
3)
Grafik
Dua macam
Grafik:
a)
Grafik Garis (polygon)
Dibuat untuk
menunjukan perkembangan suatu keadaan. Perkembangan tersebut bisa naik dan bisa
turun.
b)
Grafik Batang (histogram) dan dikembangkan ada juga
c)
Grafik Balok (3D)
4)
Diagram Lingkaran (Piechart)
Diagram
lingkaran digunakan untuk membandingkan data dari berbagai kelompok.
Contoh :
Jumlah pengguna handphone dari berbagai merk dagang.
Jumlah
pengguna
Nokia
= 20%
Jumlah
pengguna Sonyeriksson =
15%
Jumlah
pengguna
blackberry
= 45%
Jumlah
pengguna
Samsung
= 10%
Jumlah
pengguna hp
china
= 10%
dari data
diatas dapat dibuat diagram lingkaran sebagai berikut :
5)
Pictogram (Grafik Gambar)
Adakalanya
supaya penyajiannya lebih menarik dan komunikatif maka penyajian data dibuat
dalam bentuk pictogram.
C.
Pengukuran Gejala Pusat (Central Tendency)
Modus,
Median dan Mean merupakan teknik statistik yang digunakan untuk menjelaskan
kelompok yang didasarkan atas gejala pusat dari kelompok tersebut, namun dari
tiga macam teknik tersebut yang menjadi ukuran gejala pusatnya berbeda-beda.
1)
Modus (Mode), adalah nilai yang sering muncul dalam kelompok.
Contoh:
Hasil
observasi terhadap umur pegawai di Departemen X adalah: 20, 45, 60, 56, 45, 45,
20, 19, 57, 45, 45, 51, 35. Untuk mengetahui modus umur dari pegawai maka
dilihat data yang paling sering muncul, yaitu 45 sebanyak 5 data.
2)
Median, adalah salah satu teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai
tengah dari kelompok data yang telah disusun urutannya dari yang terkecil
sampai yang terbesar atau sebaliknya.
Contoh
Jumlah data ganjil. Dari data umur pegawai di atas diurutkan menjadi : 19, 20,
20, 35, 45, 45, 45, 45, 45, 51, 56, 57, 60. Nilai tengahnya adalah data ke 7
yaitu 45.
Contoh
jumlah data genap (10 data). Data tinggi badan pegawai 145, 147, 167, 166, 160,
164, 165, 170, 171, 180 cm. Diurutkan (dari yang paling besar atau dari yang
paling kecil) 180, 171, 170, 167, 166, 165, 164, 160, 147, 145 cm. Nilai
tengahnya adalah dua angka yang ditengah dibagi 2. (166 + 165)/2 = 165,5 cm.
3)
Mean, adalah teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai rata-rata
dari kelompok tersebut. Rata-rata (mean) didapat dengan menjumlahkan data
seluruh individu dalam kelompok itu, kemudian dibagi dengan jumlah individu
yang ada pada kelompok tersebut.
|
Rumus Mean :
Dimana :
Me = Mean (rata-rata)
∑
= Eplison (baca: jumlah)
xi
= Nilai x ke I sampai ke n
n
= Jumlah individu
Contoh :
Sepuluh pegawai PT Sentosa berpenghasilan sebulannya dalam dolar seperti
berikut : 90, 120, 160, 60, 180, 190, 90, 180, 70, 160.
Me =
(90+120+160+60+180+190+90+180+70+160) : 10 = 130
4)
Menghitung Modus, Median, Mean untuk data Bergolong. (Tersusun dalam Tabel
Distribusi Frekuensi)
Contoh:
Hasil tes kemampuan manajerial 100 pegawai PT Samudra
TABEL 2.8
DISTRIBUSI
NILAI KEMAMPUAN MANAJERIAL
100 PEGAWAI
PT SAMUDRA
Interval
Nilai Kemampuan
|
Frekuensi
/ Jumlah
|
21 – 30
|
2
|
31 – 40
|
6
|
41 – 50
|
18
|
51 – 60
|
30
|
61 – 70
|
20
|
71 – 80
|
10
|
81 – 90
|
8
|
91 – 100
|
6
|
Jumlah
|
100
|
Berdasarkan
data di tabel di atas hitunglah Modus, Median, Mean.
Menghitung
Modus
Rumus Modus
Dimana :
Mo
= Modus
b
= Batas kelas interval dengan frekuensi terbanyak
p
= Panjang kelas interval
b1
= Frekuensi pada kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat
sebelumnya
b2
= Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval berikutnya
Dari tabel
2.8 maka ditemukan :
Kelas modus
= kelas keempat (f nya terbesar = 30)
b
= 51 – 0,5 = 50,5
b1
= 30 – 18 = 12
b2
= 30 – 20 = 10 jadi
Modusnya =
50,5 + 10 ( 12/(12+10) ) = 55,95
Menghitung
Median
Rumus Median
|
Dimana :
Md
= Median
b
= Batas bawah dimana median akan terletak
n
= Banyak data/jumlah sampel
p
= Panjang kelas interval
F
= Jumlah semua frequensi sebelum kelas median
f
= Frekuensi kelas median
Dari tabel
kita hitung median:
Setengan
dari data (1/2 n) = ½ x 100 = 50. Jadi median terletak pada interval ke empat,
karena sampai interval ini jumlah frekuensi sudah lebih dari 50 tepatnya 56.
Dengan demikian pada interval ke empat merupakan kelas median batas bawahnya
(b) adalah 51 – 0,5 = 50,5. Panjang kelas mediannya (p) adalah 10, dan
frekuensi = 30. Adapun F nya = 2 + 6 + 18 = 26
Md
= 50,5 + 10 ( 50 – 26)
= 58,5
30
Menghitung
Mean
Untuk lebih
mudah kita buat tabel sebagai berikut terlebih dahulu:
TABEL 2.9
DISTRIBUSI
NILAI KEMAMPUAN MANAJERIAL
100 PEGAWAI
PT SAMUDRA
INTERVAL
NILAI
|
xi
|
fi
|
fi xi
|
21 – 3031
– 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
|
25,535,5
45,5
55,5
65,5
75,5
85,5
95,5
|
26
18
30
20
10
8
6
|
51213
819
1.665
1.310
755
684
573
|
Jumlah
|
100
|
6.070
|
|
Rumus Mean :
Dimana :
Me
= Mean untuk data bergolong
∑ fi
= Jumlah data/sampel
fi
xi = perkalian fi dengan xi.
xi adalah rata-rata dari nilai terendah dan tertinggi.
Me =
6070/100 = 60,70
D.
Pengukuran Variasi Kelompok
Untuk
menjelaskan data kelompok dapat juga didasarkan pada tingkat variasi data yang
terjadi pada kelompok tersebut. Untuk mengetahui tingkat variasi kelompok data
dapat dilakukan dengan melihat rentang data dan standar deviasi atau simpangan
baku dari kelompok data yang telah diketahui.
1.
Rentang Data
Rentang data
(range) dapat diketahui dengan mengurai data yang terbesar dengan data terkecil
yang ada pada kelompok itu.
Rumus
Rentang Data :
|
Dimana
:
R
= Rentang
xt
= Data terbesar dalam kelompok
xr
= Data terkecil dalam kelompok
Contoh :
Sepuluh
pegawai di PT Damai memiliki gaji (dalam dolar) 50, 75, 150, 170, 175,
190, 200, 400, 600, 700
Data
terkecil = 50
Data
terbesar = 700
R = 700 – 50
= 650
Rentang data
inilah yang menunjukan tingkat variasi kelompok
2.
Varians :
Varians
adalah salah satu teknik yang digunakan untuk menjelaskan homogenitas
kelompok.
Varians
: Jumlah kuadrat semua deviasi nilai-nilai individual terhadap rata-rata
kelompok
Akar varians
= standar deviasi/simbangan baku
Varian
populasi
: σ2
Standar
deviasi
: σ
Varians
sampel
: s2
Standar
deviasi sampel
: s
Contoh Tabel
cara menghitung varians dan simpangan baku sekelompok mahasiswa yang berjumlah
10 orang yang selanjutnya diberi symbol xi. Dari nilai 10 orang
tersebut rata-rata x (mean) adalah :
x =
(60+70+65+80+70+65+75+80+70+75)/10 = 71
Jadi
rata-rata nilai = 71
Jarak antara
nilai individu dengan rata-rata disebut simpangan. Simpangan (deviasi)
mahasiswa no 1 adalah 60 – 71 = -11 dan seterusnya. Jumlah simpangan (xt
– xr) jumlahnya harus nol.
TABEL 2.10
CARA
MENGHITUNG VARIANS DAN SIMPANGAN BAKU
NILAI 10
MAHASISWA
NO
|
NILAI
|
SIMPANGAN
_
( xi – x )
|
SIMPANGAN
KUADRAT _
( xi – x )2
|
12
3
4
5
6
7
8
9
10
|
6070
65
80
70
65
75
80
70
75
|
-11-1
-6
9
-1
-6
4
9
-1
4
|
1211
36
81
1
36
16
81
1
16
|
JUMLAH
|
710
|
0
|
390
|
S2 =
390 = 39
10
S
= √39 = 6,2450
_
σ2
= Σ ( xi - x ) 2
n
_
σ
= √ Σ ( xi - x ) 2
n
_
S2
= Σ ( xi - x ) 2
(n-1)
Indeks/koefisien
Variasi
Indeks
Variasi
= s
x 100 %
Rata-rata
Contoh :
Data
Kelompok I
: 4,
6, 8, 10, 12, 14, 16
Data
Kelompok 2
: 104, 106,
108, 110, 112, 114, 116
Rata-rata
Kelompok 1
= 4+6+8+10+12+14+16
7
= 10
s kelompok
1
= 4,32
Rata-rata
kelompok 2
= 104+106+108+110+112+114+116
7
= 110
S kelompok
2
= 4,32
Koefisien
Variasi kelompok 1 = (4,32/10) x 100 % = 43,2%
Koefisien
Variasi kelompok 2 = (4,32/110) x 100 % = 3,93 %
- 3.
Menghitung Standard Deviasi Untuk Data Bergolong
Rumus :
S
= √ Σfi ( xi - x )2
(n-1)
TABEL 2.11
TABEL
PENOLONG UNTUK MENGHITUNG
STANDAR
DEVIASI DARI DATA BERGOLONG
Interval
Nilai
|
fi
|
xi
|
_xi - x
|
_(xi – x )2
|
_fi (xi – x)2
|
21 – 30
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
|
2
6
18
30
20
10
8
6
|
25,5
35,5
45,5
55,5
65,5
75,5
85,5
95,5
|
-35,2
-25,2
-15,2
-5,2
4,8
14,8
24,8
34,8
|
1.239,04
639,04
231,05
27,04
23,04
219,04
615,04
1.211,04
|
2.478,08
3.810,24
4.158,72
811,20
460,80
2.190,40
4.920,32
7.266,24
|
JUMLAH
|
100
|
-
|
-
|
-
|
26.096,00
|
_
S
= √ Σfi ( xi - x )2
(n-1)
= √ 26.096
/99 = √ 264,09 = 16,24
BISA JUGA DILIHAT DI
http://t.co/tAOmXm4f4q
http://t.co/tAOmXm4f4q
ATAU SMSKAN EMAIL Kamu KE 085725212642 #KasihNAMA
nanti ku emailkan
