DISTRIBUSI SAMPLING STATISTIK

DISTRIBUSI SAMPLING STATISTIK

·           Sampling :  Penentuan (pemilihan) anggota sampel (unit analisis) dari populasinya dengan cara-cara tertentu.  Selanjutnya terhadap unit analisis yang terpilih dilakukan pengamatan mengenai karakteristik tertentu, melalui proses kuantifikasi, baik melalui pengukuran maupun penghitungan.

·           Sampel (sample) :  Sebagian dari anggota populasi yang diambil dengan cara-cara tertentu.

·           Populasi (population) :  Keseluruhan hasil yang mungkin terjadi dari suatu proses pengukuran atau penghitungan mengenai karakteristik tertentu.

·           Sampel acak (random sample) :  Sebagian dari populasi yang diambil dengan cara-cara tertentu, dan setiap anggota populasi memiliki peluang yang sama untuk terambil ke dalam sampel.

·           Sampling juga diartikan sebagai : pengumpulan data dengan cara memeriksa (mengukur atau menghitung) karakteristik setiap anggota sampel.

·           Sensus :  Pengumpulan data dengan cara memeriksa karakteristik seluruh anggota populasi.

·           Kelebihan Sampling di banding Sensus :

       (1)  Biaya relatif lebih kecil

       (2)  Waktu lebih cepat

       (3)  Ketelitian lebih tinggi

·         Sampel acak diperoleh dengan teknik sampling acak :

       (1)  Sampling Acak Sederhana (Simple Random Sampling)

       (2)  Sampling Acak Stratifikasi (Stratified Random Sampling)

       (3)  Sampling Acak Berklaster (Clustered Random Sampling)

       (4)  Sampling Acak Sistematis (Systematic Random Sampling)

·         Sampel non acak (non random sample) diperoleh dengan cara :

       (1)  Accidental Sampling

       (2)  Quota Sampling

       (3)  Purposive sampling

       (4)  Snow ball sampling

§   Distribusi Sampling akan meliputi :

       (1)  Distribusi sampling rata-rata

       (2)  Distribusi sampling beda dua rata-rata

       (3)  Distribusi sampling proporsi

       (4)  Distribusi sampling beda dua proporsi

DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA

·           Bila dari populasi variabel acak X yang kontinu dan berdistribusi normal dengan rata-rata m dan varians s², atau dituliskan sebagai  X ~ N(m,s²) diambil sampel acak berukuran n, maka rata-rata (x) akan berdistribusi Normal dengan rata-rata  m_x = m dan varians s²/n atau dituliskan sebagai X ~ N(m_x,s²/n).

·           Untuk memudahkan penghitungan probabilitas suatu sampel acak berukuran n akan mempunyai ukuran rata-rata tertentu, maka distribusi rata-rata di atas diubah menjadi angka baku Z sebagai berikut :

      

·           Angka baku Z berdistribusi Normal dengan rata-rata m = 1 dan varians s² = 0 yang ditulis sebagai Z ~ N(1, 0).

·           Perumusan angka baku Z di atas digunakan jika populasi tidak terbatas (infinite population), pengambilan sampel dengan pengembalian (sampling with replacement), dan n £ 5%N.

·           Sedangkan untuk populasi terhingga (finite population), pengambilan sampel tanpa pengembalian (sampling without replacement), dan n > 5%N, maka perumusan angka baku Z adalah :

; dimana

SOAL-SOAL DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA

1.     Misalkan sebuah populasi berukuran 80, variabel acak X dalam populasi tersebut berdistribusi Normal dengan rata-rata 69,7 dan varians 35.  Kemudian dengan sampling tanpa pengembalian, diambil sampel acak berukuran 5.  Tentukanlah probabilitas bahwa dalam sampel tersebut rata-ratanya :

a.     Paling sedikit 65

b.     Antara 68 dan 71

c.      Lebih dari 71

2.     Berat kantong-kantong semen yang diisikan secara otomatis mengikuti distribusi Normal dengan rata-rata 50 Kg dan varians 10,24 Kg.  Bila diambil sampel acak berukuran 25 kantong semen, maka tentukanlah peluang bahwa rata-rata berat kantong semen tersebut :

a.     Paling sedikit 48,5 Kg

b.     Antara 48,5 sampai dengan 49 Kg

3.     Suatu populasi berukuran 100, variabel acak Y dalam populasi tersebut berdistribusi Normal dengan rata-rata 50 dan varians 16.  Kemudian dari populasi tersebut diambil sampel acak berukuran 30, tentukanlah probabilitas bahwa rata-rata sampel adalah :

a.     Paling besar 51

b.     Antara 49 dan 51

c.      Paling sedikit 48,5

4.          Suatu perusahaan mempekerjakan 800 pegawai yang terdiri dari 75% pegawai pria dan sisanya pegawai wanita.  Berdasarkan catatan bagian personalia, rata-rata waktu terlambat masuk kerja adalah 32 menit dan simpangan baku 9,6 menit.  Suatu ketika pimpinan perusahaan melakukan sidak, dengan mengambil secara acak sampel berukuran 100 pegawai.  Tentukanlah ada berapa pegawai yang terlambat masuk :

(a)    Paling sedikit 30 menit

(b)    Kurang dari 33 menit

(c)     Antara 30 hingga 33 menit

SOAL-SOAL DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI

1.    Ada petunjukkan kuat bahwa 10% anggota masyarakat berpendidikan SD.  Sebuah sampel acak terdiri dari 100 orang telah diambil.  Tentukan probabitas bahwa dalam sampel tersebut terdapat :

(a)    Kurang dari 11 orang yang berpendidikan SD

(b)    Paling sedikit 14 orang yang berpendidikan SD

(c)     Antara 12 dan 14 orang yang berpendidikan SD

2.    Telah diambil 1000 sampel anak-anak masing-masing berukuran 200 anak.  Dalam berapa buah sampel diharapkan dapat ditemukan :

(a)    Anak laki-laki kurang dari 42%

(b)    Anak perempuan antara 43% dan 55%

(c)     Anak laki-laki lebih dari 56%

3.  Seorang pramuniaga yang telah berpengalaman bertahun-tahun dalam menjual suatu alat pembersih udara berpendapat bahwa probabilitas berhasil menjual satu set alat tersebut setelah memberikan presentasi kepada para pelanggan adalah 0,8.  Jika suatu ketika ia mempresentasikan kepada 100 pelanggan, maka berapakan probabilitas bahwa :

(a)    Paling sedikit 75 pelanggan akan membeli

(b)    kurang dari 15 orang yang tidak akan membeli

4.  Dari 1000 mahasiswa FE yang menempuh ujian statistik diperoleh rata-rata 58,2 dan standar deviasi 20,7.  Sesuai dengan kriteria kelulusan, ternyata dari 1000 mahasiswa peserta ujian tersebut berhasil lulus sebanyak 650 orang.  Jika diambil satu kelas secara acak yang terdiri dari 60 mahasiswa, maka berapakah probabilitas dari kelas tersebut akan terdapat :

(a)    Paling sedikit 30 mahasiswa berhasil lulus ujian

(b)    Kurang dari 27 mahasiswa yang tidak lulus ujian

(c)     Antara 30 dan 36 mahasiswa berhasil lulus ujian

SOAL-SOAL DISTRIBUSI SAMPLING BEDA DUA RATA-RATA

1.  Rata-rata tinggi badan mahasiswa 167 cm dan simpangan baku 5,2 cm.  Sedangkan rata-rata tinggi badan mahasiswi 156 cm dan simpangan baku 4,9 cm.  Jika dari dua kelompok mahasiswa tersebut masing-masing diambil sampel acak berukuran sama yaitu 140 orang,  maka berapa peluang rata-rata tinggi badan mahasiswa paling sedikit 10 cm lebihnya dari rata-rata tinggi badan mahasiswi.

2.  Sebuah perusahaan kabel menghasilkan dua jenis kabel, yaitu kabel A dan kabel B.  Kabel A mempunyai rata-rata kekuatan tarik 4000 kg dan simpangan 300 kg.  Sedangkan kabel B mempunyai rata-rata kekuatan tarik 4500 kg dan simpangan baku 200 kg.  Jika diambil sampel acak masing-masing berukuran 100  potong kabel A dan 50 potong kabel B, maka tentukan pro-babilitas bahwa kabel B memiliki rata-rata kekuatan tarik :

(a)    Paling sedikit 600 kg lebih kuat daripada kabel A

(b)    Kurang dari 450 kg lebih kuat daripada kabel A

SOAL-SOAL DISTRIBUSI SAMPLING BEDA DUA PROPORSI

1.    Ada petunjuk kuat bahwa Mr. A akan mendapat suara 60% dalam pemilihan Gubernur Propinsi X periode tahun 2001-2003.  Secara independen diambil dua buah sampel acak yang masing-masing berukuran 300 orang.  Tentukanlah probabilitas bahwa akan terdapat perbedaan persentase suara tidak lebih dari 10% dari kedua sampel tersebut akan memilih Mr. A.

2.    Dari hasil penelitian mengenai preferensi konsumen terhadap  merk rokok G menunjukkan bahwa disukai 15% konsumen rokok di perkotaan dan disukai 12% konsumen rokok di pedesaan.  Jika test pasar dilakukan lagi dengan mengambil dua sampel acak secara independen masing-masing berukuran 100 orang, maka tentukanlah probabilitas bahwa konsumen rokok di perkotaan paling sedikit 10 orang lebih banyak daripada konsumen rokok di pedesaan yang menyukai rokok merk G tersebut.

3.    Dua sejoli A dan B yang suka judi melakukan taruhan dengan cara mengundi sekeping uang ratusan bergambar burung garuda (G) di satu sisi dan bergambar Karapan sapi (S) di sisi lainnya.  Si A dan si B masing-masing diberi kesempatan melempar sebayak 25 kali.  Salah seorang akan dinyatakan menang taruhan jika memperoleh paling sedikit 5 sisi G lebih banyak dibanding lawannya.  Berapakah peluang si A akan memenangkan taruhan tersebut.

SOAL-SOAL ESTIMASI RATA-RATA

1.    Telah diambil secara acak sampel yang terdiri dari 100 orang mahasiswa sebuah universitas di Jakarta.  Melalui test IQ terhadap 100 mahasiswa tersebut diperoleh rata-rata IQ sebesar 112 dan varians 100.  Dengan menggunakan tingkat keyakinan (confidence level) sebesar 95%, tentukan interval keyakinan untuk nilai rata-rata IQ seluruh mahasiswa universitas tersebut.

2.    Seorang petani tomat ingin mengetahui rata-rata berat buah tomat hasil kebunnya.  Untuk itu, diambil sampel secara acak 10 buah tomat dengan berat masing-masing (dalam gram) : 142, 157, 138, 175, 152, 149, 148, 200, 182, dan 164.  Jika petani tersebut merasa yakin 95% bahwa rata-rata berat buah tomat akan tercakup dalam interval estimasi, maka tentukanlah interval estimasi rata-rata berat tomat hasil kebun petani tersebut.

3.    Sebuah populasi yang berdistribusi Normal terdiri dari 1000 data mempunyai simpangan baku 5,75.  Kemudian diambil sampel acak berukuran 80 data dengan rata-rata 68,6.  Tentukan inter-val keyakinan 95% untuk rata-rata populasi tersebut.

4.    Untuk menjaga cash-flow yang aman, sebuah perusahaan pemasok bahan bangunan ingin mengestimasi rata-rata saldo kredit dari para krediturnya.  Untuk itu, diambil sampel acak yang terdiri dari 25 kreditur, dan diperoleh rata-rata saldo kredit sebesar US$ 3200 dengan standar deviasi US$ 350.  Tentukan interval estimasi rata-rata saldo kredit para piutang perusahaan tersebut, sehingga pimpinan perusahaan akan merasa yakin sebesar 90% terhadap kebenaran estimasi tersebut.

5.    Untuk  meningkatkan  mutu  pelayanan, manajemen Cafe MaFia melakukan penelitian terhadap para pelanggannya selama tiga bulan.  Dari hasil observasi secara acak terhadap 100 pelanggan diperoleh data sebagai berikut :

¨         Rata-rata waktu santap para pelanggan adalah 45 menit dengan standar deviasi 10 menit.

¨         Rata-rata pembelian para pelanggan Rp 125.000,- dengan standar deviasi Rp 25.000,-

     Jika manajemen Cafe tersebut merasa yakin sebesar 95% bahwa hasil penelitiannya akan tercakup dalam interval estimasi (interval konfidens), maka tentukan interval konfidens untuk :

(a)    Rata-rata waktu santap para pelanggannya

(b)    Rata-rata pembelian para pelanggannya

SOAL-SOAL ESTIMASI PROPORSI

1.    Dari hasil survey yang dilakukan suatu research agency mengenai kebiasaan ibu rumah tangga menyaksikan tayangan iklan di TV Swasta.  Ternyata diperoleh hasil bahwa 76 orang dari 180 orang ibu rumah tangga yang dipilih secara acak, biasa menyak-sikan tayangan iklan paling sedikit 2 jam per minggu.  Jika peneliti tersebut menggunakan taraf konfidens sebesar 90%, maka tentukan interval estimasi seluruh ibu rumah tangga yang biasa menyaksikan tayangan iklan paling sedikit 2 jam per minggu.

2.    Sebuah sampel acak yang terdiri dari 100 buruh tani, ternyata sebanyak 64 buruh tani tersebut juga sebagai pemilik tanah.  Tentukanlah interval keyakinan sebesar 95% untuk mengestimasi proporsi buruh tani yang juga sebagai pemilik tanah.

3.    Dari hasil pemeriksaan mutu terhadap sebuah sampel acak ban mobil yang diproduksi PT. BB, ternyata sebanyak 20% tidak memenuhi standar mutu.  Tentukanlah interval konfidens sebesar 90% untuk proporsi ban yang tidak memenuhi standar mutu, jika digunakan ukuran sampel :

(a)    n = 10

(b)    n = 25

(c)     n = 100

4.  Seperempat dari 300 konsumen yang diwawancarai secara acak menyatakan tidak suka sabun mandi merk "X".  Jika digunakan taraf konfidens 99%, tentukanlah interval estimasi seluruh kon-sumen yang tidak menyukai sabun merk "X" tersebut.

SOAL-SOAL ESTIMASI BEDA DUA RATA-RATA

1.    Sampel acak yang terdiri dari 100 orang buruh perusahaan A telah diperiksa ternyata rata-rata waktu menyelesaikan pekerjaannya per unit barang adalah 12 menit dengan standar deviasi 2 menit.  Sedangkan dari perusahaan B yang sejenis diambil sampel acak berukuran 50, setelah diperiksa ternyata rata-rata menyelesaikan pekerjaan yang sama adalah 11 menit dengan standar deviasi 3 menit.  Tentukanlah interval keyakinan sebesar 99% untuk mengestimasi beda rata-rata waktu penyelesaian pekerjaan semua buruh di perusahaan A dan perusahaan B.

2.    Berdasarkan hasil survey sampel mengenai rata-rata pendapatan keluarga per tahun di dua desa yang berbeda, yaitu Desa A dan Desa B.  Dari Desa A diambil secara acak sampel berukuran 100 dan diperoleh rata-rata pendapatan Rp 5,9 juta dengan varians Rp 0,81 juta.  Sedangkan dari Desa B diambil secara acak sampel berukuran 120 dan diperoleh rata-rata pendapatan Rp 5,8 juta dengan varians Rp 0,64 juta.  Jika digunakan taraf konfidens 95%, tentukan interval estimasi perbedaan rata-rata pendapatan keluarga per tahun di kedua desa tersebut.       

SOAL-SOAL ESTIMASI BEDA DUA PROPORSI

1.    Dua sampel acak masing-masing terdiri 700 mahasiswa dan 500 mahasiswi yang mengunjungi suatu bazar buku murah.  Ternyata setelah kedua sampel tersebut diperiksa, terdapat 400 mahasiswa  dan 325 mahasiswi yang merasa puas dengan adanya bazar tersebut.  Tentukan interval konfidens sebesar 98% untuk mengestimasi perbedaan proporsi mahasiswa dan mahasiswi yang merasa puas terhadap bazar buku murah tersebut.

2.    Untuk mengetahui perbedaan proporsi ketaatan pemilik mobil melunasi PKB d Kota A dan Kota B, diambil secara acak  sampel di Kota A sebanyak 100 mobil dan ternyata 72 mobil telah melunasi PKB.  Sedangkan di Kota B dari sampel acak sebanyak 100 mobil, ternyata 66 mobil yang sudah melunasi pajaknya.  Tentukanlah interval konfidens sebesar 90% untuk mengestimasi beda proporsi pemilik mobil yang taat melunasi pajak di kedua kota tersebut.  

MENENTUKAN n DARI ESTIMASI PARAMETER

1.    Depkes dan Depdiknas bekerjasama untuk mengadakan penelitian mengenai persentase murid SD yang sakit gigi.  Supaya dengan taraf konfidens 95% diperoleh perbedaan antara persentase sebenarnya dengan persentase dugaan tidak lebih dari 4%, maka harus berapa murid SD yang dijadikan sampel.

2.    Mr. X akan dinyatakan menang dalam pemilihan gubernur, jika ia berhasil mengumpulkan suara paling sedikit 51%.  Dari pemilihan sebelumnya ia mendapatkan suara 55%.  Untuk menjajagi pencalonan Mr. X agar terpilih lagi menjadi gubernur yang ketujuh kalinya, maka diambil sampel acak berukuran n pemilih.  Agar Mr. X merasa yakin 95% akan terpilih lagi menjadi gubernur untuk ketujuh kalinya, maka berapakah n tersebut.

3.    Berapakah ukuran sampel yang diperlukan untuk mengestimasi rata-rata pengeluaran konsumsi per bulan penduduk Desa Z, jika dengan taraf konfidens 95% diinginkan kekeliruan estimasi tidak lebih dari Rp 25.000. Berdasarkan hasil survey tahun sebelumnya ditunjukkan bahwa rata-rata pengeluaran konsumsi per bulan penduduk Desa Z tersebut adalah Rp 700.000 dengan standar deviasi Rp 200.000.

4.    Dua buah populasi berdistribusi Normal dengan simpangan baku sama besar yaitu 8,4.  Selanjutnya dari masing-masing populasi diambil secara acak sampel yang berukuran sama yang digunakan untuk mengestimasi beda rata-rata populasi.  Jika taraf konfidens 95% dan kekeliruan estimasi tidak lebih dari 2,5, maka tentukanlah masing-masing ukuran kedua sampel tersebut.

PENGUJIAN HIPOTESA RATA-RATA

1.   Kualitas lampu pijar dinyatakan memenuhi kualitas jika memiliki rata-rata masa pakai lebih dari 1600 jam.  Untuk melindungi kepentingan konsumen, YLKI melakukan penelitian terhadap lampu merk "X" dengan mengambil sampel acak berukuran 20 lampu, ternyata rata-rata masa pakainya 1565 jam dan standar deviasi 118 jam.  Jika digunakan taraf signifikans 10%, maka bagaimanakah pendapat YLKI terhadap mutu lampu pijar merk "X" tersebut.

2.   Seorang karyawan dinyatakan terampil jika berhasil menyelesaikan pekerjaan per unit barang kurang dari 50 menit.  Seorang karyawan yang baru ditatar berhasil menyelesaikan 100 unit barang dalam waktu 5169 menit, dan simpangan baku waktu penyelesaian 9,5 menit.  Jika digunakakan taraf signifikans 1%, maka bagaimanakah keterampilan karyawan tersebut. 

BAB II

STATISTIK DESKRIPTIF

A.     Pengertian Statistik Deskriptif

Adalah statistik yang berfungsi untuk mendeskripsikan atau memberi gambaran terhadap obyek yang diteliti melalui data sampel atau populasi sebagaimana adanya, tanpa melakukan analisis dan membuat kesimpulan yang berlaku untuk umum.

B.      Penyajian Data

Prinsip dasar penyajian data adalah komunikatif dan lengkap. Menarik perhatian pembacanya dan mudah dipahami.

1)      Tabel

Tabel terdiri dari dua macam : a. Tabel biasa dan b. Tabel distribusi frekuensi

Contoh Tabel Data Nominal:

Telah dilakukan pengumpulan data untk mengetahui komposisi pendidikan pegawai di Politeknik LP3I Jakarta Kampus Blok M. Berdasarkan studi dokumentasi diperoleh keadaan sebagai berikut:

a)      Bagian Pamasaran,    S1=2 orang; D3=5 orang; SMTA=4 orang

b)      Bagian Akademik,      S1=4 orang; D3=2 orang; SMTA=1 orang

c)      Bagian Keuangan,      S1=1 orang; D3=1 orang; SMTA=3 orang

d)      Bagian Penempatan, S1= 1 orang; D3=0 orang; SMTA=1 orang

Dari data mentah di atas dapat disusun  ke dalam table dibawah ini:

TABEL 2.1

KOMPOSISI PENDIDIKAN PEGAWAI

POLITEKNIK LP3I JAKARTA KAMPUS BLOK M

No	Bagian	Tingkat Pendidikan			Jumlah
		S1	D3	SMTA
1	Pemasaran	2	3	5	10
2	Akademik	4	2	1	7
3	Keuangan	1	1	3	5
4	Penempatan	1	0	1	2
Jumlah		8	6	10	24

Sumber data: Bagian Personalia

Contoh Tabel Data Ordinal

TABEL 2.2

RANGKING SKOR TOEIC

Periode Juli 2012 sd Juni 2013

No	Nama Karyawan	Skor TOEIC	Rangking
1	Nengwida	780	1
2	Harti	560	2
3	Nunung	440	3
4	Puspita	420	4
5	Iwan	300	5
Rata-Rata Skor TOEIC		500

Sumber Data: Bagian Personalia

Contoh Tabel Data Interval

Dari hasil penelitian kepuasan kerja pegawai menggunakan instrument dengan skala Likert dengan interval 1 sampai dengan 5 dimana skor 1 untuk sangat kurang; 2 untuk kurang; 3 untuk cukup; 4 untuk baik; dan 5 untuk sangat baik. Hasilnya disajikan dalam table di bawah ini.

TABEL 2.3

TINGKAT KEPUASAN KERJA PEGAWAI

No	Aspek Kepuasan Kerja	Tingkat Kepuasan
1	Gaji	37.58
2	Insentif	57.18
3	Transportasi	68.60
4	Perumahan	48.12
5	Budaya Kerja	54.00

Sumber Data: Bidang Personalia

2)      Tabel Distribusi Frekuensi

Disusun bila jumlah data yang akan disajikan cukup banyak, sehingga kalau disajikan dalam bentuk tabel biasa menjadi tidak efisien, kurang komunikatif, dan tidak menarik. Selain itu tabel ini dibuat untuk persiapan pengujian terhadap normalisasi data yang menggunakan kertas peluang normal.

Contoh Tabel Distribusi Frekuensi

TABEL 2.4

DISTRIBUSI FREKUENSI

NILAI MATAKULIAH STATISTIKA 150 MAHASISWA

No Kelas	Kelas Interval	Frekuensi
1	10 – 19	1
2	20 – 29	6
3	30 – 39	9
4	40 – 49	31
5	50 – 59	42
6	60 – 69	32
7	70 – 79	17
8	80 – 89	10
9	90 – 99	2
Jumlah		150

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam tabel distribusi frekuensi

a)      Tabel di atas memiliki 9 kelas. No 1 sd 9

b)      Pada setiap kelas mempunyai kelas interval. Interval nilai bawah dengan atas disebut panjang kelas.

c)      Setiap kelas interval mempunyai frekuensi (jumlah).

d)      Tabel distribusi frekuensi tersebut bila mau dibuat menjadi tabel biasa akan memerlukan 150 baris (n=150) jadi akan sangat panjang.

Pedoman Umum membuat Tabel Distribusi Frekuensi

Langkah pertama dalam membuat tabel distribusi frekuensi adalah menentukan kelas interval. Terdapat 3 pedoman yang dapat diikuti:

a)      Berdasarkan Pengalaman, berdasarkan pengalaman jumlah kelas interval yang digunakan dalam menyusun tabel distribusi frekuensi berkisar antara 6 sd 15 kelas.

b)      Ditentukan dengan membaca grafik

c)      Ditentukan dengan rumus Sturges

Rumus Sturges :

	K = 1 + 3,3 log n

Dimana :

K          = Jumlah Kelas Interval

n          = Jumlah data observasi

log       = Logaritma

Misal: Jumlah data 200, maka jumlah kelasnya (K) =

K = 1 + 3,3 log 200 = 1 + 3,3 * 2,30 = 8,59 dapat dibulatkan menjadi 8 atau 9

Contoh Cara Menyususn Tabel Distribusi Frekuensi

Dibawah ini nilai mata kuliah statistika dari 150 mahasiswa

27	79	69	40	51	88	55	48	36	61
53	44	93	51	65	42	58	55	69	63
70	48	61	55	60	25	47	78	61	54
57	76	73	62	36	67	40	51	59	68
27	46	62	43	54	83	59	13	72	57
82	45	54	52	71	53	82	69	60	35
41	65	62	75	60	42	55	34	49	45
49	64	40	61	73	44	59	46	71	86
43	69	54	31	36	51	75	44	66	53
80	71	53	56	91	60	41	29	56	57
35	54	43	39	56	27	62	44	85	61
59	89	60	51	71	53	58	26	77	68
62	57	48	69	76	52	49	45	54	41
33	61	80	57	42	45	59	44	68	73
55	70	39	59	69	51	85	46	55	67

a)      Hitung jumlah kelas interval

K = 1 + 3,3 log 150 =1+ 3,3 * 2,18 = 8,19 Boleh 8 atau 9. Kita gunakan 9.

b)      Hitung rentang data, yaitu data terbesar dikurangi data terkecil kemudian ditambah 1. Data terbesar 93 dan terkecil 13.

Jadi 93 – 13 = 80 + 1 = 81

c)      Hitung panjang kelas

Panjang Kelas = Rentang : Jumlah Kelas; 81 : 9 = 9. Walau dari hitungan panjang kelas 9, tetapi pada penyusunan tabel ini digunakan panjang kelas 10.

d)      Susun interval kelas

Secara teoritis penyusunan kelas dimulai dari data terkecil, yaitu 13. Tetapi supaya komunikatif maka dimulai dengan angka 10

e)      Memasukan data dengan tally

Dengan cara mencoret data yang telah dimasukkan dimulai dari paling awal (27) yang masuk ke kelas no 2 (20-29) dan seterusnya data 53 dengan tally di setiap kelas tersedia. Jumlah tally harus sama dengan jumlah data. Setelah frekuensi ditemukan lalu tally dihilangkan.

TABEL 2.5

PENYUSUNAN TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI

DENGAN TALLY

No Kelas	Kelas Interval	Tally	Frekuensi (f)
1	10 – 19	I	1
2	20 – 29	IIIII I	6
3	30 – 39	IIIII IIII	9
4	40 – 49	IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII I	31
5	50 – 59	IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII II	42
6	60 – 69	IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII II	32
7	70 – 79	IIIII IIIII IIIII II	17
8	80 – 89	IIIII IIIII	10
9	90 – 100	II	2
Jumlah  :			150

Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif

Kumulatif adalah tabel yang menunjukan jumlah observasi yang menyatakan kurang dari nilai tertentu.

TABEL 2.6

DISTRIBUSI FREKUENSI KUMULATIF

NILAI STATISTIKA 150 MAHASISWA

Kurang Dari	Frekuensi Kumulatif
Kurang dari 20	1
Kurang dari 30	7
Kurang dari 40	16
Kurang dari 50	47
Kurang dari 60	89
Kurang dari 70	121
Kurang dari 80	138
Kurang dari 90	148
Kurang dari 101	150

Tabel Distribusi Frekuensi Relatif

Penyajian data lebih mudah dipahami bila dinyatakan dalam persen (%). Penyajian data yang merubah frekuensi menjadi persen dinamakan distribusi frekuensi relative. Cara pembuatannya adalah dengan merubah frekuensi menjadi persen.

TABEL 2.7

DISTRIBUSI FREKUENSI RELATIF

NILAI STATISTIKA 150 MAHASISWA

No Kelas	Kelas Interval	Frekuensi	Relatif (%)
1	10 – 19	1	0,67
2	20 – 29	6	4,00
3	30 – 39	9	6,00
4	40 – 49	31	20,67
5	50 – 59	42	28,00
6	60 – 69	32	21,33
7	70 – 79	17	11,33
8	80 – 89	10	6,67
9	90 – 100	2	1,33
Jumlah  :			100

3)      Grafik

Dua macam Grafik:

a)   Grafik Garis (polygon)

Dibuat untuk menunjukan perkembangan suatu keadaan. Perkembangan tersebut bisa naik dan bisa turun.

b)   Grafik Batang (histogram) dan dikembangkan ada juga

c)   Grafik Balok (3D)

4)      Diagram Lingkaran (Piechart)

Diagram lingkaran digunakan untuk membandingkan data dari berbagai kelompok.

Contoh : Jumlah pengguna handphone dari berbagai merk dagang.

Jumlah pengguna Nokia                     = 20%

Jumlah pengguna Sonyeriksson          = 15%

Jumlah pengguna blackberry             = 45%

Jumlah pengguna Samsung                = 10%

Jumlah pengguna hp china                 = 10%

dari data diatas dapat dibuat diagram lingkaran sebagai berikut :

5)      Pictogram (Grafik Gambar)

Adakalanya supaya penyajiannya lebih menarik dan komunikatif maka penyajian data dibuat dalam bentuk pictogram.

C.      Pengukuran Gejala Pusat (Central Tendency)

Modus, Median dan Mean merupakan teknik statistik yang digunakan untuk menjelaskan kelompok yang didasarkan atas gejala pusat dari kelompok tersebut, namun dari tiga macam teknik tersebut yang menjadi ukuran gejala pusatnya berbeda-beda.

1)   Modus (Mode), adalah nilai yang sering muncul dalam kelompok.

Contoh:

Hasil observasi terhadap umur pegawai di Departemen X adalah: 20, 45, 60, 56, 45, 45, 20, 19, 57, 45, 45, 51, 35. Untuk mengetahui modus umur dari pegawai maka dilihat data yang paling sering muncul, yaitu 45 sebanyak 5 data.

2)   Median, adalah salah satu teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai tengah dari kelompok data yang telah disusun urutannya dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya.

Contoh Jumlah data ganjil. Dari data umur pegawai di atas diurutkan menjadi : 19, 20, 20, 35, 45, 45, 45, 45, 45, 51, 56, 57, 60. Nilai tengahnya adalah data ke 7 yaitu 45.

Contoh jumlah data genap (10 data). Data tinggi badan pegawai 145, 147, 167, 166, 160, 164, 165, 170, 171, 180 cm. Diurutkan (dari yang paling besar atau dari yang paling kecil) 180, 171, 170, 167, 166, 165, 164, 160, 147, 145 cm. Nilai tengahnya adalah dua angka yang ditengah dibagi 2. (166 + 165)/2 = 165,5 cm.

3)   Mean, adalah teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai rata-rata dari kelompok tersebut. Rata-rata (mean) didapat dengan menjumlahkan data seluruh individu dalam kelompok itu, kemudian dibagi dengan jumlah individu yang ada pada kelompok tersebut.

Me = ∑ xi / n

Rumus Mean :

Dimana :           Me       = Mean (rata-rata)

∑          = Eplison (baca: jumlah)

x_i                    = Nilai x ke I sampai ke n

n          = Jumlah individu

Contoh : Sepuluh pegawai PT Sentosa berpenghasilan sebulannya dalam dolar seperti berikut : 90, 120, 160, 60, 180, 190, 90, 180, 70, 160.

Me = (90+120+160+60+180+190+90+180+70+160) : 10 = 130

4)   Menghitung Modus, Median, Mean untuk data Bergolong. (Tersusun dalam Tabel Distribusi Frekuensi)

Contoh: Hasil tes kemampuan manajerial 100 pegawai PT Samudra

TABEL 2.8

DISTRIBUSI NILAI KEMAMPUAN MANAJERIAL

100 PEGAWAI PT SAMUDRA

Interval Nilai Kemampuan	Frekuensi / Jumlah
21 – 30	2
31 – 40	6
41 – 50	18
51 – 60	30
61 – 70	20
71 – 80	10
81 – 90	8
91 – 100	6
Jumlah	100

Berdasarkan data di tabel di atas hitunglah Modus, Median, Mean.

Menghitung Modus

Rumus Modus

      Dimana :

Mo       = Modus

b          = Batas kelas interval dengan frekuensi terbanyak

p          = Panjang kelas interval

b₁         = Frekuensi pada kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya

b₂         = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval berikutnya

Dari tabel 2.8 maka ditemukan :

Kelas modus = kelas keempat (f nya terbesar = 30)

b          = 51 – 0,5 = 50,5

b₁                  = 30 – 18 = 12

b₂         = 30 – 20 = 10 jadi

Modusnya = 50,5 + 10 ( 12/(12+10) ) = 55,95

Menghitung Median

      Rumus Median

½ n – F Md  =  b +  p  (                 ) f

Dimana :

Md       =  Median

b          =  Batas bawah dimana median akan terletak

n          =  Banyak data/jumlah sampel

p          =  Panjang kelas interval

F          =  Jumlah semua frequensi sebelum kelas median

f           =  Frekuensi kelas median

Dari tabel kita hitung median:

Setengan dari data (1/2 n) = ½ x 100 = 50. Jadi median terletak pada interval ke empat, karena sampai interval ini jumlah frekuensi sudah lebih dari 50 tepatnya 56. Dengan demikian pada interval ke empat merupakan kelas median batas bawahnya (b) adalah 51 – 0,5 = 50,5. Panjang kelas mediannya (p) adalah 10, dan frekuensi = 30. Adapun F nya = 2 + 6 + 18 = 26

Md       =  50,5 + 10 ( 50 – 26)  =  58,5

30

Menghitung Mean

Untuk lebih mudah kita buat tabel sebagai berikut terlebih dahulu:

TABEL 2.9

DISTRIBUSI NILAI KEMAMPUAN MANAJERIAL

100 PEGAWAI PT SAMUDRA

INTERVAL NILAI	xi	fi	fi xi
21 – 3031 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100	25,535,5 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5 95,5	26 18 30 20 10 8 6	51213 819 1.665 1.310 755 684 573
Jumlah		100	6.070

Rumus Mean :

Dimana :

Me       = Mean untuk data bergolong

∑ f_i              = Jumlah data/sampel

f_i x_i       = perkalian fi dengan x_i. x_i adalah rata-rata dari nilai terendah dan tertinggi.

Me = 6070/100 = 60,70

D.     Pengukuran Variasi Kelompok

Untuk menjelaskan data kelompok dapat juga didasarkan pada tingkat variasi data yang terjadi pada kelompok tersebut. Untuk mengetahui tingkat variasi kelompok data dapat dilakukan dengan melihat rentang data dan standar deviasi atau simpangan baku dari kelompok data yang telah diketahui.

1.   Rentang Data

Rentang data (range) dapat diketahui dengan mengurai data yang terbesar dengan data terkecil yang ada pada kelompok itu.

Rumus Rentang Data :

	R = xt – xr

Dimana  :

R          =  Rentang

x_t          =  Data terbesar dalam kelompok

x_r         =  Data terkecil dalam kelompok

Contoh :

Sepuluh pegawai di PT  Damai memiliki gaji (dalam dolar) 50, 75, 150, 170, 175, 190, 200, 400, 600, 700

Data terkecil   = 50

Data terbesar  = 700

R = 700 – 50 = 650

Rentang data inilah yang menunjukan tingkat variasi kelompok

2.      Varians :

Varians adalah salah satu teknik yang digunakan  untuk menjelaskan homogenitas kelompok.

Varians  : Jumlah kuadrat semua deviasi nilai-nilai individual terhadap rata-rata kelompok

Akar varians = standar deviasi/simbangan baku

Varian populasi                       :  σ²

Standar deviasi                                               :   σ

Varians sampel                       :  s²

Standar deviasi sampel           :  s

Contoh Tabel cara menghitung varians dan simpangan baku sekelompok mahasiswa yang berjumlah 10 orang yang selanjutnya diberi symbol x_i. Dari nilai 10 orang tersebut rata-rata x (mean) adalah :

x = (60+70+65+80+70+65+75+80+70+75)/10 = 71

Jadi rata-rata nilai = 71

Jarak antara nilai individu dengan rata-rata disebut simpangan. Simpangan (deviasi) mahasiswa no 1 adalah  60 – 71 = -11 dan seterusnya. Jumlah simpangan (x_t – x_r) jumlahnya harus nol.

TABEL 2.10

CARA MENGHITUNG VARIANS DAN SIMPANGAN BAKU

NILAI 10 MAHASISWA

NO	NILAI	SIMPANGAN         _ ( xi  –   x )	SIMPANGAN KUADRAT        _ ( xi –   x )2
12 3 4 5 6 7 8 9 10	6070 65 80 70 65 75 80 70 75	-11-1 -6 9 -1 -6 4 9 -1 4	1211 36 81 1 36 16 81 1 16
JUMLAH	710	0	390

S²   = 390   =  39

10

S    =  √39  =  6,2450

_

σ²  =  Σ ( xi  -  x  ) ²

n

_

σ    = √ Σ ( xi  -  x  ) ²      

                                    n

_

S^{2       =} Σ ( xi  -  x  ) ² 

                           (n-1)

Indeks/koefisien Variasi

Indeks Variasi   =        s           x 100 %

Rata-rata

Contoh :

Data Kelompok I                     :  4, 6, 8, 10, 12, 14, 16

Data Kelompok 2                    : 104, 106, 108, 110, 112, 114, 116

Rata-rata Kelompok 1             =  4+6+8+10+12+14+16

7

=  10

s kelompok 1                           =  4,32

Rata-rata kelompok 2                         =  104+106+108+110+112+114+116

7

=  110

S kelompok 2                           =  4,32

Koefisien Variasi kelompok 1 =   (4,32/10)   x 100 % = 43,2%

Koefisien Variasi kelompok 2  =   (4,32/110) x 100 % = 3,93 %

1. 3.      Menghitung Standard Deviasi Untuk Data Bergolong

      Rumus :

                        

S   = √ Σf_i ( x_i  -  x  )²

(n-1)

TABEL 2.11

TABEL PENOLONG UNTUK MENGHITUNG

STANDAR DEVIASI DARI DATA BERGOLONG

Interval Nilai	fi	xi	_xi -  x	_(xi – x )2	_fi (xi – x)2
21 – 30 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100	2 6 18 30 20 10 8 6	25,5 35,5 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5 95,5	-35,2 -25,2 -15,2 -5,2 4,8 14,8 24,8 34,8	1.239,04 639,04 231,05 27,04 23,04 219,04 615,04 1.211,04	2.478,08 3.810,24 4.158,72 811,20 460,80 2.190,40 4.920,32 7.266,24
JUMLAH	100	-	-	-	26.096,00

                            _

S   =  √ Σf_i ( x_i  -  x  )²

(n-1)

= √ 26.096 /99    = √  264,09     =  16,24